1. Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Метод Гаусса.
2. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость. Базис пространства. Число векторов в базисе пространства .
3. Базис и ранг системы векторов. Элементарные преобразования конечной системы векторов, приведение системы векторов к ступенчатой форме.
4. Строчечный и столбцовый ранг матрицы, их равенство. Теорема Кронекера-Капелли.
5. Умножение квадратных матриц. Ассоциативность, единичная матрица. Обратная матрица, ее вычисление при помощи элементарных преобразований строк единичной матрицы. Сложение матриц и умножение матрицы на скаляр. Умножение прямоугольных матриц.
6. Перестановки конечного множества. Инверсии и транспозиции, четные и нечетные перестановки.
7. Определитель квадратной матрицы. Свойства строк и столбцов определителя. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу).
8. Приложения теории определителей: теорема Крамера, теорема о ранге матрицы, вычисление обратной матрицы.
9. Конечномерные векторные пространства. Изоморфизм. Размерность векторного пространства. Базисы. Матрица перехода, связь координат вектора в разных базисах.
10. Подпространства векторного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Размерность суммы двух подпространств. Прямая сумма. Линейные многообразия. Однородные системы линейных уравнений.

Алгебра
( I курс, II семестр )

1. Линейные операторы. Матрица линейного оператора, ее преобразование при изменении базиса. Ядро и область значения линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта. Линейные операции над линейными операторами. Изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры квадратных матриц. Вырожденные и невырожденные линейные операторы, обратимый оператор.
2. Характеристические корни и собственные значения, спектр линейного оператора. Линейные операторы с простым спектром.
3. Евклидовы пространства. Ортонормированные базисы. Геометрия евклидовых пространств. Ортонормированное дополнение подпространства. Определитель Грама системы векторов.
4. Сопряженный оператор. Самосопряженные (эрмитовы) операторы. Ортогональные (унитарные) операторы. Полярное разложение линейного оператора.
5. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Законы инерции квадратичных форм. Положительно определенные формы. Критерий Сильвестра.
6. Группы. Изоморфизм. Полугруппы. Циклические группы. Смежные классы. Разложение группы по полугруппе. Теорема Лагранжа. Гомоморфизмы. Нормальные подгруппы. Факторгруппа. Теорема о гомоморфизмах.
7. Жорданова нормальная форма линейного оператора.

---

Университет | Отделение прикладной математики | Рабочие программы