П Р О Г Р А М М А
дисциплины
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель дисциплины <Численные методы> - подготовить студентов к разработке компьютерно ориентированных вычислительных алгоритмов решения задач, возник5ающих в процессе математического моделирования законов реального мира и применения познанных законов в практической деятельности.

ВВЕДЕНИЕ
Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Численные методы как раздел современной математики. Роль компьютерно ориентированных численных методов в исследовании сложных математических моделей.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, АЛГЕБРЫ И ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ
Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений. Обращение матриц. Итерационные методы. Сходимость одношаговых итерационных методов. Итерационные методы с чебышевским набором параметров. Метод сопряженных градиентов.
Решение нелинейных уравнений и систем уравнений. Методы простой итерации, Ньютона, секущих. Сходимость.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
Интерполирование алгебраическими многочленами. Погрешность интерполяционной формулы. Сплайн-интерполирование. Дробно-рациональные приближения. Среднеквадратичные приближения. Метод наименьших квадратов.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности. Интегрирование функций специального вида.

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши. Устойчивость, сходимость и точность. Интегрирование жестких систем.
Методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Интегроинтерполяционный метод построения разностных схем. Порядок аппроксимации и точность.

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость.
Разностные схемы для уравнений теплопроводности и колебаний струны. Построение разностных схем методом баланса. Примеры экономичных разностных схем для многомерного уравнения теплопроводности. Нелинейное уравнений теплопроводности и разностные схемы для него.
Принцип максимума для разностных схем. Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Монотонные разностные схемы.
Метод разделения переменных при исследовании устойчивости и сходимости двуслойных разностных схем. Канонический вид и условия устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем.
Итерационные методы решения сеточных краевых задач. Быстрое дискретное преобразование Фурье и его применение к решению сеточных уравнений.

ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Метод конечных элементов. Метод характеристик для гиперболических систем уравнений первого порядка.
Методы решения интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма второго рода. Интегральные уравнения первого рода. Метод регуляризации некорректных задач.

ЛИТЕРАТУРА

Основная
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. М.: Наука, 1987. 598 с.
Калиткин Н.Н. Численные методы: Учеб. пособие. М.: наука, 1978. 512 с.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. М.: наука, 1989. 608 с.
Самарский А.А. Введение в численные методы: Учеб. пособие. М.: Наука, 1987. 286 с.
Самарский А.А. Теория разностных схем: Учеб. пособие. М.: Наука. 1989. 616 с.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие. М.: Наука, 1989. 430 с.
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач: Учеб. пособие. М.: Наука, 1986. 258 с.

Список дополнительной литературы устанавливается кафедрой.

Программа составлена академиком РАН А.А.Самарским (Московский университет).