Специальность Прикладная математика
2 курс; 3 семестр 
Лекции – 34 часа
Практические занятия - 34 часа
Форма контроля – зачет, экзамен 
Составитель – доцент кафедры прикладной математики А.С.Сипин

Теория меры и интеграл Лебега.

Системы множеств.

Кольцо множеств. Полукольцо множеств. Лемма о дополнении системы непересекающихся подмножеств до полного разложения множества. Кольцо, порожденное полукольцом. Алгебра и алгебра множеств. Существование неприводимых алгебр по отношению к заданной системе множеств. Борелевские алгебры.

Мера. Продолжение меры.

Определение меры. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо. Простейшие следствия из определения меры (монотонность, конечная полуаддитивность). Счетная аддитивность меры. Сохранение счетной аддитивности меры при продолжении меры с полукольца на кольцо. Счетная полуаддитивность и монотонность меры.

Определение внешней меры и ее счетная полуаддитивность. Кольцо измеримых множеств. Аддитивность меры на кольце измеримых множеств. Счетная аддитивность меры на кольце измеримых множеств. алгебра измеримых множеств. Монотонность меры. Продолжение меры, заданной на полукольце без единцы. Продолжение конечной меры.

Измеримые функции

Определение и основные свойства измеримых функций. Арифметические операции над измеримыми функциями. Измеримость предела последовательности измеримых функций. Одновременная измеримость эквивалентных функций. Сходимость почти всюду и теорема Егорова. Сходимость по мере. (доказать теорему, что сходимость почти всюду влечет сходимость по мере) Теорема о существовании в последовательности, сходящейся по мере, подпоследовательности, сходящейся почти всюду.

Интеграл Лебега.

Простые функции и интеграл Лебега от них. Общее определение интеграла Лебега. Свойства интеграла. Счетная аддитивность интеграла Лебега. Неравенство Чебышева. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Предельный переход в интеграле Лебега. Теорема Лебега. Теорема Леви. Лемма Фату. Связь интеграла Лебега и интеграла Римана.

Произведение мер.

Произведение систем множеств. Прямое произведение мер. Счетная аддитивность прямого произведения мер при счетной аддитивности сомножителей. Выражение плоской меры через интеграл от линейной меры. Теорема Фубини. Заряды. Разложения Хана и Жордана. Абсолютно-непрерывные заряды. Теорема Радона-Никодима

Темы практических занятий.

1. Системы множеств. Полукольцо, кольцо, алгебра и алгебра множеств.
2. Мера и ее свойства.
3. Свойства измеримых функций.
4. Сходимость по мере.
5. Сходимость почти всюду
6. Вычисление интеграла от простых функций.
7. Интегральные суммы Лебега.
8. Свойства интеграла Лебега.
9. Метрическое пространство измеримых функций с топологией, определяемой сходимостью по мере.
10. Предельный переход в интеграле Лебега.
11. Кратные интегралы и теорема Фубини.
12. Абсолютная непрерывность зарядов и мер. Теорема Радона-Никодима.

Темы контрольных работ.

1. Системы множеств. Мера и ее свойства.
2. Измеримые функции. Интеграл Лебега.

Список литературы

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М., Наука, 1977.
2. Халмош П. Теория меры. - М.: ИЛ, 1953.
3. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. - М.: Наука, 1979
4. Партасарати. Введение в теорию вероятностей и теорию меры.

Специальность Прикладная математика
2 курс; 4 семестр 
Лекции – 36 часов
Практические занятия - 36 часов
Форма контроля – экзамен 
Составитель – доцент кафедры прикладной математики А.С.Сипин

Метрические пространства. 

Метрические пространства. Примеры метрических пространств. Топология в метрическом пространстве. Полнота метрического пространства. Теорема о вложенных шарах. Принцип сжимающих отображений. Теорема Бэра. Пополнение метрического пространства. Неравенства Гельдера и Минковского. Пространства . Пространство измеримых функций . Полнота пространств и . Пространство . Регулярные меры. Плотные множества в пространствах . Пространство . Теорема Стоуна-Вейерштрасса.

Линейные топологические пространства.

Линейные пространства. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха. Линейные топологические пространства. Свойства окрестностей нуля в линейном топологическом пространстве. Локально выпуклые линейные топологические пространства. Критерий метризуемости линейного топологического пространства. Нормированные пространства. Критерий Колмогорова нормируемости линейного топологического пространства.

Линейные операторы в нормированных пространствах.

Линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора. Понятие нормы ограниченного оператора. Различные формулы для вычисления норм. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов. Теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости. Критерии поточечной сходимости последовательности операторов и функционалов. Теоремы об обратном операторе. Теорема Банаха о гомеоморфизме. Теорема о замкнутом графике. Замкнутые операторы.

Линейные функционалы в нормированных пространствах.

Линейные непрерывные функционалы в нормированных пространствах. Продолжение функционалов с сохранением нормы. Линейные непрерывные функционалы в пространствах . Линейные непрерывные функционалы в пространствах . Линейные непрерывные функционалы в пространствах . Линейные непрерывные функционалы в .

Сопряженные пространства и слабая сходимость.

Сопряженные пространства и сопряженные операторы. Второе сопряженное пространство. Рефлексивные пространства. Примеры. Слабая сходимость последовательности функционалов. Слабая сходимость последовательности элементов линейного нормированного пространства. Слабая сходимость в пространстве . Слабая сходимость в пространстве .

Темы практических занятий.

1. Метрические пространства.
2. Полнота и сепарабельность метрического пространства.
3. Линейные топологические пространства.
4. Выпуклые множества и выпуклые функционалы.
5. Нормированные пространства.
6. Линейные операторы в нормированных пространствах.
7. Пространство линейных операторов.
8. Теорема Банаха-Штенгауза.
9. Линейные функционалы в линейных нормированных пространствах.
10. Сопряженные операторы.
11. Слабая сходимость операторов.

Темы контрольных работ.

1. Линейные операторы и линейные функционалы.
2. Сопряженные операторы. Слабая сходимость.

Список литературы

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М., Наука, 1977.
2. Канторович, Акилов. Функциональный анализ. - М., Наука, 1977.
3. Люстерник, Соболев. Краткий курс функционального анализа.-М., Высшая школа, 1982.-271с.

---

Университет | Отделение прикладной математики | Рабочие программы