Специальность: Прикладная математика

3 курс; 5 семестр;

Лекции – 36 часов + 36 часов (спецкурс)

Форма контроля – экзамен

Составитель – доцент кафедры прикладной математики А.С.Сипин

Гильбертовы пространства.

Абстрактное гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы. Теорема Рисса-Фишера. Ряд Фурье и его свойства. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Тождество параллелограмма как характеристическое свойство евклидовых пространств.Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Линейные операторы в гильбертовых пространствах.

Вполне непрерывные операторы.

Компактные и относительно-компактные множества в метрических пространствах. Теорема Асколи-Арцела. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта. Теорема Шаудера. Уравнения второго рода со вполне непрерывными операторами. Альтернатива Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.

Спектральная теория операторов.

Резольвента и спектр. Спектр вполне непрерывного оператора. Эрмитово-сопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Теоремы о спектре. Проекторы и их свойства.Спектральное разложение самосопряженных операторов.

Элементы теории обобщенных функций

Пространство основных и пространство обобщенных функций. Носитель обощенной фунуции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Линейная замена в обобщенной функции. Дифференцирование обобщенных функций.Примеры обобщенных функций. Формулы Сохоцкого. Прямое произведение обобщенных функций. Свертка обобщенных функций. Обобщенные функции медленного роста. Преобразование Фурье обобщенных фыункций медленного роста.

Темы практических занятий.

1. Гильбертовы пространства.
2. Ортогональные системы и процесс ортогонализации.
3. Разложения функций по ортонормированным системам.
4. Операторы в гильбертовом пространстве.
5. Собственные числа и собственные функции операторов в гильбертовом пространстве.
6. Относительно- компактные множества в нормированных пространствах.
7. Вполне непрерывные операторы.
8. Обобщенные функции.

Темы контрольных работ.

1. Линейные операторы и линейные функционалы в гильбертовом пространстве. Процесс ортогонализации.
2. Обобщенные функции.

Список литературы

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М., Наука, 1977.
2. Канторович, Акилов. Функциональный анализ. - М., Наука, 1977.
3. Люстерник, Соболев. Краткий курс функционального анализа.-М., Высшая школа, 1982.-271с.
4. В.С.Владимиров. Уравнения математической физики.-М., 1971 -512 с.

---

Университет | Отделение прикладной математики | Рабочие программы